En la actualidad es arzobispo de Hamburgo; el obispo más joven de Alemania.

Heße nació en Colonia el 7 de agosto de 1966.
Después de estudiar teología y filosofía en la Universidad de Bonn y la Universidad de Regensburg, fue ordenado sacerdote el 18 de junio de 1993 por el cardenal Joachim Meisner en la catedral de Colonia.
De 1997 a 2003 fue profesor en el Collegium Albertinum mientras cursaba su doctorado en Teología por la Escuela Filosófico-Teológica de Vallendar con una disertación sobreHans Urs van Balthasar , el teólogo católico suizo.
De 2003 a 2005 dirigió el Departamento de Servicios Pastorales de la Arquidiócesis de Colonia, y también en 2003 asumió el cargo adicional como delegado arquidiocesano de radio y televisión, cargo que ocuparía hasta 2012.
El 1 de mayo de 2006, Heße fue nombrado Vicario General Adjunto de la Archidiócesis de Colonia, hasta que el 16 de marzo de 2012 se convirtió en Vicario General.
El 26 de enero de 2015 es nombrado cuarto arzobispo de Hamburgo. Su consagración episcopal tuvo lugar el 14 de marzo de 2015, con su consagrante principal de ser obispo de Osnabrück, Franz-Josef Hermann Bode.
A los 48 años, era el obispo diocesano más joven de Alemania.